Условия потенциальности поля. Вихри (ротор)

Условие возможности выражения напряженности поля через скалярную функцию, называемую потенциалом.

Выражение потенциала в интегральной форме:

Интеграл от вектора по замкнутому контуру должен быть равен нулю в потенциальном поле. Однако, рассматривая процессы движения жидкости или газа, можно заметить, что интеграл по замкнутому контуру от вектора скорости не равен нулю, если контур охватывает вихри или водовороты:

Таким образом, равенство (или не равенство) нулю конкретного интеграла служит признаком отсутствия (наличия) вихрей.

В случае плоского контура (контура, который лежит в одной плоскости) величина интеграла, отнесенного к площади, ограниченной контуром, характеризует среднюю плотность вихревого движения, ось которого направлена нормально к плоскости контура.

Вихрем или ротором называют векторную величину, определяющую интенсивность вихревого характера какого-либо вектора Е. Составляющая вектора n⁰ определяется выражением:

Где интеграл берется по контуру, лежащему в плоскости и ограничивающему площадь S, каждый линейный размер которой стремится к нулю. Нормаль n⁰ к площадке S связана с направлением обхода контура правилом правоходового винта.

Как вектор, вихрь rotE, может быть определен в декартовой системе координат по своим составляющим:

Данное уравнение выводится из формулы (2).

Пользуясь оператором Гамильтона, можно представить дифференциальную операцию rot E как векторное произведение рассматриваемого вектора и оператора набла:

Безвихревый характер потенциальных полей, помимо условия интегрального (формула (1)), приводящего, как это видно из формулы (2) к отсутствию вихрей:

Данное выражение может быть получено путем следующих рассуждений.

Если в формуле (1) слагающие напряженности могут быть представлены как соответствующие частные производные от некоторой скалярной функции φ(x, y, z), то есть если E = -grad φ, то:

Это следует из условия независимости порядка дифференцирования:

Если данное условие соблюдается, то произведя вычисления по формуле (3) придем к формуле (6). Также стоит обратить внимание и на следующее: из-за формального обращения с оператором Гамильтона по правилам векторной алгебры:

И немного практики.

Пример 1

В области электрического поля E_x = — Cy, E_y = Cx, E_z = 0 можно ли представить напряженность поля как градиент потенциала?

Решение

Если условие rot E = 0 выполняется, то мы можем представить Е как –grad φ. Произведя вычисления вихря по формуле (3) получим:

Как видим из результата, напряженность такого поля не может быть представлена в виде градиента – поле оказывается вихревым.

Подобное электрическое поле существует внутри длинной катушки, питаемой переменным током.

 Пример 2

То же самое, что и в предыдущем примере, но:

E_x = Cy, E_y = Cx, E_z = 0

Решение

Поле безвихревое, что подтверждается прямым вычислением. Его потенциал может быть представлен выражением φ = -Cxy и оно удовлетворяет уравнению Лапласа. Такое поле создается в первом квадранте плоскости xy, если по координатным осям расположены электроды с нулевым потенциалом, а электрод в виде гиперболического цилиндра xy = A = const, имеет потенциал φ = — AC.