Для того, чтобы провести анализ системы автоматического управления САУ необходимо иметь ее математическое описание – интегродиффернциальные или дифференциальные уравнения. Если система с распределенными параметрами, то уравнения представлены в частных производных. Они будут определять поведение системы автоматического регулирования САР в динамических режимах – переходные процессы, а также приложение или снятие возмущающих воздействий.
Ели уравнения описывают изменения входящих в них переменных во времени, то их называют уравнениями динамики. Не прилагая особых усилий из уравнений динамики можно получить уравнения статики – если предположить, что все входящие в них воздействия и производные равны нулю или равны константам (постоянны). Уравнениями статики описываются системы в установившемся режиме.
Для упрощения записи уравнений динамики САР ее, как правило, разбивают на отдельные звенья, и записывают уравнения каждого звена по отдельности. Созданную таким образом систему уравнений можно преобразовать к одному уравнению, путем исключения промежуточных переменных.
Уравнения звена необходимо составлять так, чтоб оно выражало зависимость между выходящим и входящим сигналом. Также следует учитывать, что звено может иметь не одно входное значение (при наличии обратных связей), а также следует учесть, что звено может иметь возмущение из вне.
Дифференциальные уравнения составляются на основании законов физических процессов, которые будут протекать в звене.
Все факторы или переменные, от которых зависит изучаемый процесс, выявляются при составлении дифференциального уравнения. Уравнения статики не линейны для большого диапазона изменений регулируемой величины. Если рассмотреть на примере генератора независимого возбуждения, то при небольшом изменении напряжения возбуждения уравнение цепи будет иметь линейный вид:
Где: Uг – выходное генераторное напряжение, Uв – напряжение на обмотке возбуждения, α – коэффициент, выражающий зависимость Uв от Uг.
Если изменения магнитного поля машины будут существенны, то тогда придется учитывать режим насыщения, а это вводит в систему определенную нелинейность:
Если для малых отклонений регулируемой величины вполне можно использовать линеаризованные уравнения, то для больших отклонений используют нелинейные уравнения вида:
Где x, y, z – значения абсолютные регулируемой величины, а также регулирующего и возмущающего воздействий.
Изображение данных статических уравнений называют статическими характеристиками – кривыми, построенными в координатах x, z или x,y.
В качестве примера такой характеристики может послужить характеристика статическая электронного усилителя постоянного тока Uвых = f(Uвх):
Или же машины постоянного тока Ω = f(Uу):
Где: Ω – скорость вала, рад/с; Uу — якорное напряжение управления;
Из показанных выше характеристик видно, что они не линейные. Для того, чтоб упростить себе жизнь и не проводить расчет нелинейной САУ было введено понятие линеаризация, которая возможна для небольшого диапазона изменений входных и выходных величин:
Точка С, на характеристике Ω = f(Uу), имеет координаты Ω0 и Uу0, которые соответствуют номинальной скорости вращения машины. Величины ΔΩ и ΔUу — достаточно малые отклонения напряжения и скорости, поэтому нелинейный участок характеристики принадлежащий точке С вполне можно заменить прямой (секущей или касательной). Рассматриваемый участок кривой можно рассматривать в отдельных осях (ΔΩ и ΔUу), которые обозначают отклонение величин Ω и ΔUу от их номинальных значений. Замену нелинейной характеристики линейной, основанной на малых отклонениях, называют линеаризацией. Рабочий участок можно обновить формулой ΔΩ = k0ΔUу, где k0 – крутизна характеристики, k0 = tgα.
Также необходимо отметить, что существую и САР со значительно нелинейными характеристиками, которые не подлежат линеаризации. Такие системы рассматривает раздел нелинейной теории автоматического регулирования.
