Уравнение Пуассона и Лапласа

В случае потенциального поля напряженность поля Е может быть выражена через градиент потенциала. При этом приходим к выражению

Напряженность поля Е выраженная через градиент потенциала

содержащему двойную дифференциальную операцию: дивергенцию от градиента. При использовании декартовой системы координат легко записать эту операцию через соответствующие производные. Действительно, представляя в формулу (1) составляющие grad φ как:

Составляющие градиента

Находим, что:

Операция Лапласиана формула выраженная через градиент

Операция div grad носит название лапласиана и обозначается знаком Δ. Используя оператор набла, рассматриваемую операцию можно представить как наблу квадрат, таким образом:

Уравнение Пуассона формула

В случае декартовых координат и в применении к скалярной функции можно всегда считать операции ∇2 и Δ тождественными.

Уравнение (1) является основным уравнением потенциального электрического поля и носит название уравнения Пуассона.

В области поля, где заряды отсутствуют (где ρ = 0), уравнение (1) упрощается, так как в его правой части оказывается нуль. В последнем случае уравнение называют уравнением Лапласа.

Уравнение

Дифференциальное уравнение электрического потенциального поля формула

и было названо дифференциальным уравнением электрического потенциального поля.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

В некоторой области поля потенциал изменяется по закону:

Электрический потенциал изменяется по закону

Содержится ли в этой области объемный заряд и чему он равен?

Решение

Путем прямого дифференцирования найдем:

Решение уравнения путем прямого дифференцирования

Уравнение Лапласа удовлетворяется (объемный заряд равен нулю).

Пример 2

То же, что и в предыдущем примере, но описанное следующим уравнением:

Электрический потенциал изменяется по следующему закону

Решение

В таком случае:

Решение примера 2

Очевидно, что правая часть данного равенства в общем случае не равна нулю.

Примечание к примерам 1 и 2. Из рассмотрения встретившихся видов произведений можно сделать более общий вывод:

Произведение типа

Произведение всегда удовлетворяющее уравнению Лапласа формула

всегда удовлетворяет уравнению Лапласа (первый множитель в формуле (5) cos или sin, а второй ch или sh).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *