Строгий вывод теоремы Остроградского – Гаусса довольно сложен, мы сделаем ее вывод для частного случая, который достаточно убедительно поддается обобщению. Теорема Остроградского – Гаусса позволяет определить поток вектора напряженности от любого количества зарядов. Для начала определим поток вектора напряженности через шаровую поверхность, в центре которой будет располагаться точечный заряд.
По формуле, которая была рассмотрена в более ранней статье (формула 1), при En = Ecos α, для шаровой поверхности (cos α = 1) поток вектора напряженности будет иметь вид:
Использовав формулу напряженности (формула 4) найдем:
Отсюда следует, что из каждого точечного заряда выходит поток вектора напряженности, который равен значению q/εε0. Из обобщения данного положения выводится теорема Остроградского – Гаусса для общего случая – полный поток вектора напряженности через замкнутую произвольной формы поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость εа = εε0, то есть:
Где: n – количество зарядов, qi – заряд, заточенный внутри поверхности.
В системе Гаусса данное уравнения будет иметь вид:
Для потока вектора электрического смещения ND (вектора индукции) можно получить аналогичную формулу:
То есть, поток индукции через замкнутую произвольную поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, которые охватываются этой поверхностью.
Если взять какую-то замкнутую поверхность, которая не охватывает заряд q, то каждая линия напряженности (или индукции) будет пересекать ее дважды – один раз она войдет в поверхность, а другой раз выйдет из нее. Из – за этого явления алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность, количество которых определяет полный поток индукции ND через эту поверхность будет равна нулю (ND = 0).
Прежде чем рассмотреть несколько частных случаев применения теоремы Остроградского – Гаусса для определения напряженностей различных электростатических полей, введем понятие о плотности зарядов.
Линейная плотность заряда – это физическая величина, которая характеризует распределение заряда вдоль линии (нити) или тонкого цилиндрического тела и численно равная отношению заряда к длине элемента нити:
А при равномерном распределении заряда по всей длине линейная плотность:
В СИ единицей измерения линейной плотности заряда τ будет 1 Кл/м.
Если заряд dq распределен по какому-то объему dV, то очевидно, что объемная плотность заряда будет численно равна соотношению заряда к элементу объема:
А при равномерном распределении заряда:
В системе СИ измеряется в 1 Кл/м3.
В случаях, когда заряд dq распределяется по поверхности dS и глубина его проникновения пренебрежительно мала, то поверхностная плотность заряда будет определена соотношением:
А в случае если заряд q по площади S распределен равномерно, то:
В системе СИ поверхностная плотность измеряется в Кл/м2.
Давайте вычислим напряженность электростатического поля, которое создано равномерно заряженной сферической поверхностью.
Предположим, что сферическая поверхность имеет радиус R и равномерно распределенный заряд q, то есть поверхностная плотность σ в любой точке сферы будет одинакова.
Выберем точку А, которая находится от центра сферы на расстоянии r (рисунок ниже):
Через точку А мысленно проведем новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере.
В данном случае через поверхность S поток вектора напряженности будет равен:
По теореме Гаусса NE = q/εε0. Отсюда следует, что при r>R:
Если сравнить данное соотношение с формулой напряженности поля точечного заряда, можно сделать вывод, что вне заряженной сферы напряженность поля такова, как если бы весь имеющийся заряд сферы был сосредоточен в ее центре.
Для точек, которые находятся на поверхности заряженной сферы с имеющимся радиусом R, по аналогии с уравнением (7) можно записать:
Если провести через точку В, которая находится внутри сферической заряженной поверхности, сферу S/ с радиусом r/<R. Зарядов не будет внутри сферы S/, так как все они будут располагаться на внешней сферической поверхности. Отсюда вытекает (по теореме Гаусса) NE = 0, и внутри равномерно заряженной сферы напряженность электростатического поля будет равна нулю (E = 0).
Теперь давайте попытаемся определить напряженность поля, созданного равномерно заряженной нитью (цилиндром) бесконечной длины.
Предположим, что полая цилиндрическая поверхность с определенным радиусом R заряжена с постоянной поверхностной плотностью σ. Проведем коаксильную поверхность цилиндрического типа с радиусом r>R.
Через эту поверхность поток вектора напряженности будет равен:
По теореме Гаусса:
Приравняв правые части этих уравнений получим:
Из формулы (4а) находим, что линейная плотность заряда цилиндра равна:
Использовав это равенство, найдем:
Теперь давайте определим напряженность поля, которое создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью.
Если предположить, что данная плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу плоскости равен σ. Из законов симметрии следует вывод, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то одинаковыми по своей величине должны быть поля по обе стороны плоскости.
Если ограничить часть заряженной плоскости 1 воображаемым прямоугольным ящиком 2 (Гауссова поверхность) таким образом, чтобы ящик был рассечен пополам (рисунок ниже).
Обе грани ящика, которые имеют определенную площадь S, должны быть расположены параллельно заряженной плоскости. Вектору Е равен суммарный поток вектора напряженности, умноженному на площадь первой грани S, плюс поток вектора Е через противоположную грань. Через остальные грани поток напряженности будет равен нулю, так как их не пересекают линии напряженности.
Повторив предыдущие рассуждения и применив теорему Остроградского – Гаусса, получим следующее выражение:
Но Е = Е1 = Е2. В таком случае напряженность поля бесконечной равномерной плоскости будет равна:
Координаты точки, в которой определяется напряженность поля, не входят в формулу (12). Отсюда следует вывод, что в бесконечной равномерно заряженной плоскости электростатическое поле будет однородным, а его напряженность в любой точке поля одинакова.
И, наконец, давайте определим напряженность поля, которое создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, с одинаковыми плотностями и разноизменно заряженными.
Из рисунка выше видно, что между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов –σ и +σ, напряженность поля равна сумме напряженностей полей, которые создаются обеими пластинами, то есть:
Векторы Е вне пластин направлены противоположно друг другу и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность электрического поля в пространстве, которое окружает пластины, будет равно нулю (Е = 0).