Рассмотрим две точки имеющие координаты (x, y, z) и (x + Δx, y ,z) и между которыми перемещается единичный заряд. Работа, которую необходимо совершить против сил электростатического поля, для переноса заряда из одной точки в другую, численно будет равна разности потенциалов в этих точках:
Согласно формуле (4 приведенной по ссылке) на том же отрезке работа по перемещению единичного заряда (q/ = 1) можно выразить формулой:
Где Ех – проекция вектора напряженности на координатную ось Х.
Приравняв правые части уравнений получим:
По аналогии и для других координат:
К эквипотенциальным поверхностям вектор напряженности Е электростатического поля нормален. В случае если вместо направляющих координат x, y, z взять нормаль n к эквипотенциальным поверхностям, то составляющие вектора Ех, Ey, Ez можно будет заменить на Е, тогда:
Величина dφ/dn называется градиентом потенциала, имеет обозначение grad φ и характеризует быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии. Исходя из этого, предыдущее выражение можно записать как:
Вектор напряженности Е численно равен градиенту потенциала, но направлен в сторону падения потенциала – в противоположную сторону.
Давайте определим напряженность электростатического поля между двумя бесконечными заряженными пластинами, расстояние между которыми равно d, а их потенциалы постоянны и равны φ1 и φ2. Поскольку заряды на пластинах распределены равномерно, электростатическое поле между пластинами одновременно (напряженность поля Е одинакова во всех точках между пластинами). Силовые линии перпендикулярны пластинам, а эквипотенциальные поверхности параллельны им. Применив к данному случаю уравнение (2) получим:
Где φ1 — φ2 = U – разность потенциалов между пластинами, которую часто называют напряжением.
Напряжение (разность потенциалов) – важная характеристика электростатического поля, так как при любых расчетах важно знать не абсолютные значения потенциалов в каких – либо двух точках поля, а разность потенциалов между ними. Когда говорят о потенциале в определенной точке поля, подразумевают разность потенциалов между данной точкой и другой, потенциал которой условно могут считать равным нулю (например, потенциал Земли принимают равным нулю).
Разность потенциалов и потенциал (электрическое напряжение U) в системе СИ принято измерять в вольтах:
Разность потенциалов между двумя точками будет равна 1 В, если для перемещения заряда 1 Кл между ними совершается работа 1 Дж.
В системе СГС аналогичная единица обозначается как 1 СГСU. Соотношение между этими единицами: 1 СГСU = 300 В.
Из формулы 3 следует, что напряженность электрического поля в системе СГС измеряется в единицах СГСЕ, а в системе СИ в вольтах на метр (В/м), что соответствует Н/Кл.
Пример
К пластинам плоского конденсатора приложено напряжение 600 В. Поверхностная плоскость зарядов на пластинах σ = 3,20·10-4 Кл/м2. Необходимо определить расстояние между пластинами.
Решение
Напряженность поля конденсатора равна:
Где d – расстояние между пластинами, U – напряжение на них.
Выразим напряженность поля через поверхностную плоскость σ заряда на пластинах конденсатора:
Где ε = 1 (так как диэлектрик воздух), ε0 – электрическая постоянная.
Приравняв правые части приведенных уравнений получим:
Вычисляя находим:
