При перемещении точечного электрического заряда qпр электростатического поля из одной точки в другую на расстояние dS элементарная работа, совершаемая силой F, будет равна:
Где α это угол между направлением движения и силой F.
В случае, когда работа совершается силами поля, то dA>0, а если внешними силами, то dA<0. Проинтегрировав последнее выражение, получим выражение работы против сил поля при перемещении точечного заряда qпр из точки a в точку b:
Где F = Eqпр – кулоновская сила, которая действует на «пробный» заряд qпр в каждой точке поля с напряженностью Е. В токам случае работа будет равна:
Предположим, что от пути перемещения или интегрирования точечного заряда будет зависеть результат интегрирования. Но если бы интеграл (формула 2) зависел только от пути, то можно было бы перемещать точечный заряд с точки а в точку b по пути где А меньше, а возвращать по пути где А больше, и в итоге «получить» энергию больше, чем было затрачено в первом случае. Однако «извлекать» энергию из поля можно только при условии перемещения зарядов, создающих само поле, то есть электрическое поле тоже будет изменяться. Но, создающие электрическое поле заряды в электростатике неподвижны, что делает невозможным извлечение из поля энергии при условии, что в электростатике закон сохранения энергии справедлив.
Теперь давайте докажем, что совершаемая при перемещении заряда работа в электростатическом поле зависит только от конечного и начального положений электрического заряда.
Пусть «пробный» заряд qпр перемещается в поле заряда q из точки а, которая удалена на расстояние r1 от q, в точку b, удаленную на расстояние r2 от q, по пути аа/b (рисунок ниже а)):
Так как поле точечного заряда радиально, то на участке аа/ работа не производится, поскольку перемещение осуществляется перпендикулярно вектору Е. Отсюда следует, что работа по переносу «пробного» заряда от точки а к точке b будет равна:
Теперь выберем более сложный путь движения точечного заряда (рисунок выше б)). Траекторией его движения будет то радиус, то дуга окружности. Каждый раз, когда путь будет пролегать по радиусу, интегрируется dr/r2. Интеграл берется в пределах от ra до ra/ по первому радиальному участку, по следующему от ra/ до ra// и так далее. Общий интеграл в пределах от r1 до r2 будет равна сумме интегралов, то есть ответ получится тот же, что и в первом случае. Отсюда следует, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого же вида, получится аналогичный результат. Расчет перемещения заряда в электростатическом поле для любых траекторий более сложен, но приводит к аналогичному результату, а именно:
Где интеграл берется от начальной точки a до конечной точки b по любому пути.
