Давайте рассмотрим некоторые общие вопросы расчета переходных процессов (режимов) на примере включения электрической неразветвленной цепи с емкостью, сопротивлением и индуктивностью (последовательный контур) к источнику напряжений u, которое во времени изменяется по непрерывному произвольному закону, заданному каким-либо аналитическим выражением.
Давайте запишем второй закон Кирхгофа для любого момента времени:
Где i – ток переходного режима, который, как правило, называют переходным током или просто током.
Переходный режим – это состояние электрической цепи, наблюдающееся в течении некоторого (теоретически бесконечно большого) времени после коммутации.
При наступлении принужденного режима электрической цепи уравнение 1 примет вид:
Где: iпр – ток принужденного режима или просто принужденный ток.
Принужденный режим – это состояние электрической цепи, когда с переходным процессом можно уже не считаться. Принужденный режим, который создается источником произвольного периодически изменяющегося напряжения (или тока), также называют установившийся режим.
Например, изменяющийся по экспоненциальному закону источник напряжения создает принужденный режим, а источник постоянного или изменяющегося по гармоническому закону напряжения, создает установившийся режим. При этом постоянную величину стоит рассматривать как периодическую переменную величину, принимающую в процессе своего изменения одни и те же значения.
Вычитая почленно уравнение 2 из уравнения 1 и обозначая:
Разность напряжений и токов принужденного и переходного режимов называют напряжением или током свободного режима или просто свободным напряжением и током.
Полученные выше уравнения показывают нам, что в свободном режиме, возникающем в цепи при переходе от одного ее состояния к другому, напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются, но величины свободных напряжений, конечно же, зависят от напряжения источника.
Процесс, происходящий в электрической цепи (согласно уравнению 3), можно рассматривать как бы состоящий из двух накладывающийся друг на друга процессов – свободного, имеющего место исключительно во время переходного режима и принужденного, который как бы наступает сразу. Благодаря свободному процессу и достигается непрерывное приближение к принужденному режиму в переходном режиме. Из чего следует, что в переходном режиме токи и напряжения можно разложить на слагающие свободного и принужденного режимов:
Поскольку принцип наложения может быть применен только к линейным цепям, то приведенное выше разложение допустимо только для линейных цепей. Как вы, наверное, уже догадались, физически существуют только переходные напряжения и токи, а разложения их на свободные и принужденные составляющие является лишь математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях.
Разложение переходных напряжений и токов соответствует правилу решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Уравнение 4 наглядно показывает, что свободный ток является общим решением однородного дифференциального уравнения и, следовательно, в своем выражении должен содержать постоянные интегрирования, число которых будет равно порядку дифференциального уравнения.
Уравнение 2, в свою очередь, показывает, что принужденный ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, а именно то, что получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при постоянных интегрирования равных нулю. Говоря другими словами, не должно быть в составе принужденного тока слагающих свободного тока. Тогда из первого равенства (формула 6) делаем вывод, что переходный ток i, равный сумме iсв и iпр, является общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.
Начальные значения свободного тока в ветви с индуктивностью iLсв(0) и свободного напряжения на емкости uCсв(0) не трудно найти исходя из законов коммутации. Данные манипуляции необходимы для нахождения постоянных интегрирования.
Для удобства расчетов предположим, что электрическая цепь находилась в переходном (произвольном) режиме до коммутации. Ток и напряжения данного режима обозначим iL—(t) и uC—(t). Напряжение uC—(0) и ток iL—(0) в момент коммутации (t = 0), а их значения до коммутации будем считать неизвестными.
Поскольку переходное напряжение емкости и переходной ток на индуктивности не могут быть изменены скачкообразно, то на основании уравнения (6) получим:
В случае же когда цепь находилась в принужденном режиме до коммутации, то, обозначив напряжение uC пр — (t) и ток iL пр — (t) для uC св — (0) и iL св — (0) получим:
Если до начала коммутации цепь была отключена и на емкости не было заряда, то есть iLпр-(0) = 0 и uCпр-(0) = 0:
В простейших цепях переходные процессы, как правило, исследуют классическим методом, который заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, которые связывают напряжения и токи электрической цепи в переходном процессе. В результате интегрирования появляются постоянные, значение которых определяют из начальных условий.
Начальными условиями называют значения переходных напряжений и токов на емкостях и индуктивностях, то есть те величины, которые не изменяются скачкообразно в момент коммутации (это следует из законов коммутации).
Так же иногда эти условия могут называть независимые начальные условия. В отличие от них начальные условия всех остальных напряжений и токов называют зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условия определяют из независимых начальных условий и по значениям ЭДС источников питания. Для этого применяются первый и второй законы Кирхгофа.
Важно помнить, что главной трудностью классического метода определения переходных процессов в сложных электрических цепях является вычисление постоянных интегрирования из начальных условий.
