Уравнение движения электропривода

Работа электрифицированных агрегатов очень часто сопровождается изменениями скорости движения его органов, что вызвано целым рядом причин.

Непостоянство напряжения сети, включение / отключение пусковых и тормозных резисторов, колебания механической нагрузки вследствие изменения режима работы – одни из основных причин изменения скорости движения электропривода. Особенно ощутимые изменения скорости происходят при пуске и торможении системы электропривода. Поскольку данные режимы не являются рабочими то, следовательно, производительность рабочего органа будет снижаться. Важно уметь определять длительность этих режимов (переходных процессов) и принимать максимально возможные меры для их снижения (если в этом есть экономическая целесообразность).

Исследование характера движения системы электропривода или же его отдельных компонентов может быть произведено с помощью системы уравнений движения.

Всякое изменение скорости движения электропривода, который является довольно сложной системой, сопровождается изменением кинетической энергии, запасаемой в системе электродвигатель – рабочая машина. Кинетическая энергия всей системы может оказывать существенное влияние на поведение электрической машины, вызывая изменения ее скорости, вращающего момента и мощности.

Уравнения движения электропривода можно получить основываясь на втором законе Ньютона или же рассмотрев энергетический баланс системы электродвигатель – рабочая машина.

Второй вариант позволяет получить решение в более общей форме и, поэтому, мы будем использовать его в качестве примера.

Электродвигатель преобразует электрическую энергию в механическую, создавая, при этом, вращательное движение.  Довольно значительное количество приводимых в движение рабочих машин имеют вращающиеся рабочие органы, поэтому целесообразно сделать вывод уравнения для вращательного движения.

Уравнение кинетической энергии для системы двигатель – рабочая машина можно записать в следующей форме:

Где: А_д – работа всех движущих сил, А_с – работа всех сил сопротивлений, ƩJ(ω²₂ / 2) – кинетическая энергия системы, ω₁ и ω₂ – угловые скорости в начале и конце рассматриваемого перемещения.

Величину, находящуюся в правой части выражения (1), условно можно представить как работу сил инерции А_и.

Тогда уравнение (1) примет вид:

Для элементарных работ также справедливо предыдущее уравнение:

Изменение работ за бесконечно малый период времени:

Производная энергия по времени является мощностью. Поэтому выражение (3) можно записать, как:

Где: Р_д – развиваемая движущими силами мощность, Р_с – затрачиваемая на преодоление вредных и полезных сопротивлений мощность, Р_дин – динамическая мощность, которая характеризует изменение кинетической энергии системы.

Рассмотрим более подробно член правой части выражение (4).

Из теоретической механики известно, что запас кинетической энергии системы, вращающейся угловой скоростью ω:

Где: J – момент инерции системы.

 На практике, в подавляющем большинстве случаев, приходится иметь дело с системами, момент инерции которых является постоянным. Однако существует и категория рабочих машин, в которых момент инерции является функцией угла поворота. Поэтому для обобщения последующего изложения материала предусматриваем случай, при котором момент инерции будет функцией угла поворота рабочего органа, что математически будет выглядеть так:

Динамическая мощность при этом будет равна:

Подставив в уравнения динамической мощности (5) в уравнение баланса мощности (4) получим следующее выражение:

Поделив обе части выражения (6) на значение угловой скорости ω, получим уравнение движения системы или, как его иногда могут называть, уравнение моментов, отнесенное к тому валу, на скорость которого производится деление:

Правая часть уравнения (в соответствии (4)) называется динамическим моментом:

Уравнение движение электропривода представляет собой общий вид выражение (7), охватывающее как системы с постоянным моментом, так и системы с моментом инерции.

Динамический момент в общем случае выражения (7) будет иметь вид:

Динамический момент состоит из двух частей – первая часть связана с изменением скорости движения, а вторая часть обусловлена изменением кинетической энергии системы из-за переменности момента инерции.

На практике электропривод с переменным моментом инерции довольно «редкий зверь». В качестве примера можно привести механизмы подъемно-качающихся столов прокатных станов, кривошипных ножниц и прессов, а также некоторые механизмы металлургических цехов.

На практике наиболее часто встречается случай с постоянным моментом инерции:

В случае постоянного момента инерции второй член правой части выражение (7) превратится в нуль, и, соответственно, уравнение движения примет вид:

Равенство (9) обычно относится к угловому ускорению и угловой скорости электродвигателя, однако оно может быть отнесено к угловому ускорению и скорости любого звена исполнительного механизма. При этом к соответствующим скоростям надо относить как приведенный момент инерции J, так и моменты M_д и M_с.

При использовании уравнения (9) необходимо условиться относительно знаков моментов, входящих в него.

Одно из возможных направлений движения рабочего органа, как правило, принимается за положительное, а противоположное ему – за отрицательное. Очень часто в качестве органа, по направлению движения которого определяют знак момента, принимают сам электродвигатель. Одно из направлений движения электрической машины выбирается как положительное, а второе (противоположное) – как отрицательное. Знак развиваемого электродвигателем момента М_д зависит от характера его включения. В случае если направление движение считается положительным — момент положительный, если отрицательным – момент отрицательный (режим торможения). При решении конкретных задач движения электропривода момент электродвигателя, как правило, выражается как функция скорости М_д = f(ω). В таком случае момент М_д должен входить в общее уравнение всегда с положительным знаком, так как при подстановке в уравнение (9 ) зависимости М_д = f(ω) автоматически будет учтен знак M_д.

Под статическим моментом исполнительного момента понимают момент на валу, который создается силами как полезных, так и вредных сопротивлений. Данный момент, пересчитанный на угловую скорость электрической машины, называют приведенным статическим моментом М_с. В зависимости от свойств рабочей машины и производственного процесса статический момент во время работы машины может изменяться в функции скорости, пути, времени или других величин или оставаться постоянным.

Обычно статический момент препятствует движению, однако, он может и способствовать ему, но при определенных условиях.

Все статические моменты можно разделить на две категории:

1. Реактивные моменты;
2. Активные или потенциальные моменты;

В первую категорию попадают статические моменты, которые препятствуют движению и меняют свой знак при смене направления движения. Характер статического момента различных механизмов зависит от большого количества различных факторов. Изучение влияния технологических факторов на систему электропривода не будет рассматриваться в данной статье. При рассмотрении вопросов движения рабочих органов более важным является зависимость статического момента от времени, скорости и пути. С точки зрения зависимости статического момента от скорости возможны следующие случаи:

1. Не зависящий от скорости статический момент (сила сопротивления при резанье металла или дерева, сила трения и другое);
2. Пропорциональный скорости статический момент (момент сопротивления на валу генератора постоянного тока, который работает с постоянным магнитным потоком на неизменном сопротивлении);
3. Пропорциональный квадрату скорости статический момент (центробежные вентиляторы с малым трением в подшипниках, постоянной составляющей момента которых можно пренебречь);

Зависящими от скорости статическими моментами, которые обусловлены силами трения или же постоянными сопротивлениями, пренебрегать нельзя (например, центробежный насос, питающий систему с постоянным напором).

На рисунке 1 показаны рассмотренные ранее зависимости статического момента от скорости.

В случае обусловленного силами трения статического момента, при изменении направления движения рабочего органа, то есть когда функция переходит через нуль в осях n и M, знак момента изменяется и функция претерпевает разрыв. Наглядное представление данного явления показано на рисунке 2.

Вторая категория статических моментов включает моменты от веса, растяжения, скручивания упругих тел и сжатия. Они обусловлены изменением потенциальной энергии отдельных элементов системы. Соответствующие моменты называют активными или потенциальными. В отличии от реактивных статических моментов потенциальные сохраняют направления своего действия при изменении направления вращения системы. Из чего следует, что при одном направлении вращения потенциальные моменты будут противодействовать вращению, а при другом направлении вращения – способствовать. Например, момент на барабане подъемного механизма (крана), создаваемый грузом, сохраняет свой знак и при опускании груза и при подъеме. Это наглядно представлено на рисунке 3, где показана зависимость момента на валу барабана подъемного механизма.

В соответствии с принятым ранее условием все активные статические моменты, которые препятствуют движению системы электропривода, должны быть в левой части уравнения со знаком минус, а моменты, которые способствуют движению – со знаком плюс.

Поскольку потенциальный статический момент M_c и момент электродвигателя могут иметь разные знаки, общее уравнение движение электропривода можно записать в таком виде:

Однако такое представление моментов сильно затрудняет общее решение уравнения. Именно из-за этого во всех последующих выводах исходят из уравнения движения электропривода представленного в формуле (9), а частные условия задачи (например, знаки отдельных моментов) вводят в конечные решения дифференциального уравнения (9).

Расчет системы электропривода с помощью уравнений динамики возможно только при условии определенной системы единиц измерений. Системой, получившей широкое распространение в СНГ, является абсолютная электромагнитная система МКСА. В ней исходные единицы механических величин представлены как: метр – единица длины, килограмм – единица массы, секунда – единица времени. Ампер принят в качестве четвертой единицы для расчета системы электропривода.

В МКСА сила это производная величина, определяемая ускорением и массой тела. За единицу силы в этой системе был принят ньютон, равный силе, сообщающей ускорение 1 м / сек² массе в 1 кг. Единицей работы и момента является ньютонометр или джоуль, равный 0,102 кГм практической системы единиц. Таким образом, 9,81 ньютона соответствует 1 кГ практической системы. При пересчетах этот коэффициент часто используется. Справочники и каталоги, как правило, используют практическую систему единиц. Поэтому в целях облегчения расчетов в последующем изложении сохранена и практическая система, которая принимает в качестве исходных данных магнитную проницаемость, силу, время и длину.

Величина J(dω / dt) имеет размерность момента и носит название динамический момент:

В зависимости от знаков и соотношений величин М_д и М_с динамический момент может быть и положительный и, соответственно, отрицательный.

При известной мощности можно вычислить момент на валу:

Где: Р – мощность (Вт); 9,81 – коэффициент для перевода из кГм в Дж; ω – угловая скорость (1 / сек).

Если скорость вращения выражена в оборотах в минуту (об / мин), то уравнение момента примет вид:

Где Р – мощность на валу, выраженная в кВт.

После выполнения математических преобразований уравнение примет вид:

Данная формула валидна, если мощность (Р) выражена в ватах (вт), n – скорость в об / мин для обоих случаев.

Уравнения (11) и (12) позволяют определить мощность при известной скорости вращения и моменте:

Момент выражается в кГм в обоих случаях.

Иногда момент может быть выражен в джоулях:

Формула валидна при условии, что P выражается в Вт.

Не всегда система электропривода имеет только вращающиеся компоненты и части, иногда приходится иметь дело с поступательным движением. В таком случае вместо уравнения моментов рассматривают уравнения сил, действующих на систему электропривода. Применив изложенную выше методику расчета, из выражения для кинетической энергии относительно легко можем найти динамическую мощность электропривода:

Для общности предположено, что масса движущегося тела переменна и является функцией пути, то есть m = f(s).

Для прямолинейного движения (ds / dt) = υ (вспомним физику), получим:

Вычисляя значение динамической силы:

Уравнение движения электропривода примет следующий вид:

Где F_д – движущая сила, F_c – сила статического сопротивления, s – путь, который проходит система.

Примером механизма с переменной массой может служить конвейерная лента, на которую насыпается какой-то измельченный материал. Случаи с движением массы, зависящей от пути, на практике электропривода все еще встречаются редко и в последующем рассмотрении уравнения (16) ведутся только в случае m = const. Уравнение движения электропривода примет вид:

Классификация и знаки моментов, рассматриваемые ранее, полностью справедливы и для сил, действующих на систему.