Индуктивность, как важный параметр электрической цепи

Индуктивность – это очень важный интегральный параметр электрических цепей и электромагнитных систем, определяемый из расчета магнитного поля токов.

Индуктивность определяется как отношение потока (потокосцепления) к току:

Или же, как отношение соответствующих приращений:

Где ψ – потокосцепление (полный поток, сцепленный с рассматриваемым контуром).

По существу дела приведенное выше определение потока Ф совпадает именно с ψ. Но в случае многовитковых контуров вводится не совсем строгое понятие потока Ф, сцепленного с витком (не совсем строгое потому, что виток в многовитковой спирали не замкнут). При этом для W витков ψ = WФ.

В случае выражения, описанного формулой (1), под величиной ψ_n нужно понимать потокосцепление с контуром n, обусловленное только полем тока i_k. В другом случае следует считать все токи, кроме тока в контуре k, неизменными.

Индуктивность называется взаимной, если речь идет о потокосцеплении одного контура (n) и токе другого (k). Индуктивность называется собственной, если речь идет о потокосцеплении и токе одного и того же контура(n = k):

Давайте сопоставим определение индуктивности и закон электромагнитной индукции  и увидим, что ЭДС, наводимая в контуре n изменяющимся током i_k в контуре k будет равна:

В простейших случаях вычисление индуктивности происходит довольно просто. В сложных случаях расчет индуктивности становится чрезвычайно сложным.

Например, определение собственной индуктивности коаксиального кабеля как отношения магнитного потока в изолирующем промежутке к току можно произвести по формуле:

r₁ и r₂ – радиус жилы и внутренний радиус оболочки кабеля.

Собственная индуктивность параллельных проводов (двух) вычисляется тоже довольно просто – поток, создаваемый током одного провода через участок плоскости, проведенной между проводами, вычисляется на основании закона полного тока. Полученное значение потока умножается на 2. Это связано с симметрией, так как такой же поток создается и вторым проводом. Формула выглядит следующим образом:

Задача 1

Три параллельных провода радиуса r₀ расположены на расстояниях r₁₂, r₂₃, r₃₁.

Нужно определить собственную индуктивность L₍₁₂₎ петли проводов 12 и взаимную индуктивность М_(12),(23) петли 12 и петли 23 и взаимную индуктивность М_(12),(13), то есть петли 12 и петли 13.

Решение

Поток петли 12, сцепленный с петлей 23, будем вычислять следующим образом – поток от тока i провода 1, сцепленный с петлей 23, очевидно, равен потоку, который проходит между коаксиальными поверхностями, проведенными радиусами r₁₂ и r₁₃ из центра, лежащего на оси провода 1, то есть:

Аналогично вычислим и поток от второго провода через ту же петлю при токе –i в проводе 2:

Результирующий поток, определяющий взаимную индуктивность двух петель, после деления на ток i примет вид:

За «начало» в обеих петлях принят зажим 1.

Что касается собственной индуктивности, то она будет равна:

При l = 1 км, r = 0,3 см, r₁₂ = 90 см, r₂₃ = 80 см, r₁₃ = 60 см получим:

М_(12),(23) = — 1,20 мГн,  М_(12),(13) = 1,04 мГн, L₁₂ = 2,28 мГн.

Отрицательное значение М_(12),(23)  показывает, что при протекании положительного тока в петле 12 (обход по контуру от 1 к 2), поток в петле 23 отрицателен (обход по контуру от 2 к 3).

Задача 2

Как поменяются индуктивности из задачи 1, если в провода 1, 2 и 3 включить сосредоточенные катушки индуктивности L₁, L₂, L₃ соответственно номерам проводов. Такие катушки индуктивности подключают для увеличения дальности связи.

Решение

Взаимная индуктивность системы увеличится на добавочную собственную индуктивность, включенную в провод, общий для двух рассматриваемых петель (с потоком этой катушки сцеплен провод, образующий и часть первого и часть второго контура). Собственная индуктивность петли 12 увеличится на L₁ + L₂.

При выполненных в данном примере расчетах не учитывался поток внутри самих проводов, тогда как при малом расстоянии между проводами по сравнению с их радиусом он может составить значительную часть. Основанием для этого служило следующее – если поток внутри проводов составляет заметную часть и должен быть учтен при расчете индуктивности L, то все процессы чрезвычайно усложняются. Например, отношение dψ/di, принимавшееся здесь в качестве определения индуктивности, оказывается зависящим от того, с какой скоростью во времени изменяется ток, так как из-за происходящего перераспределения тока по сечению проводника меняется и распределение потока. В этих условиях следует решать уже другую задачу о распределении в проводящей среде поля, изменяющегося во времени и отказаться от упрощенного рассмотрения, уместного только при малой величине внутреннего потока.

Из задач 1 и 2 можно выделить сходство в рассмотрении собственных и взаимных индуктивностей многопроводной системы с соответствующим рассмотрением частичных емкостей. Важно отметить то, что при рассмотрении многопроводных систем нельзя говорить об индуктивности провода (нужно говорить об индуктивности петли) совершенно так же как нельзя говорить о емкости провода (нужно говорить о частичных емкостях между двумя проводами).