Основные законы для электрических зарядов

Электрическое поле может быть создано только взаимодействием двух заряженных тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними (точечные заряды q₁ и q₂), то сила, испытываемая первым зарядом, выражается законом Кулона:

Электрическая постоянная здесь:

Если сила F выражается в ньютонах, заряды q в кулонах, а расстояние между ними r –в метрах (абсолютная практическая система); r₂₁⁰ – это единичный вектор, направленный из точки расположения второго заряда в точку расположения первого.

Формула (1) относится к случаю расположения зарядов в вакууме при отсутствии, по крайней мере внутри сферы R>>r, какой либо вещественной среды или тел, способных создавать дополнительное поле под влиянием зарядов q₁ и q₂. Центр сферы, предположительно, лежит вблизи зарядов q₁ и q₂.

В Гауссовой системе закон Кулона имеет вид:

Различие в форме записи только в единицах измерения (а именно в наличии постоянного множителя 1/4πε₀) не оказывает влияния на физический смысл уравнений поля.

В соответствии с представлениями теории поля закон Кулона (1) имеет следующую формулировку – на заряд (q₁)  действует сила (F) из-за наличия в точке его расположения электрического поля другого заряда (q₂).

Сила, испытываемая зарядом q в электрическом поле, прямо пропорциональна заряду. Относительное значение этой силы можно представить формулой:

Относительное значение силы служит мерой интенсивности (силы) поля и носит название напряженности поля.

В тех случаях, когда внесение пробного заряда может вызвать искажение рассматриваемого поля, следует при определении напряженности поля переходить к пределу:

так как при малой величине пробного заряда мало и вызываемое им возмущение.

После сопоставления выражений (1) и (2) найдем напряженность поля точечного заряда:

Вектор r = rr⁰ направлен из точки расположения заряда (точка истока) в точку, для которой определяется напряженность электрического поля (точка наблюдения).

Также стоит обратить внимание на то, что в последнем выражении (4) отчетливо проступает физический смысл входящих в него величин – поле точечного заряда имеет центральную симметрию, то есть, равномерно распределяется по всем направлениям (как свет от точечного источника) и по величине обратно пропорционально площади сферы, имеющей центр в точке расположения заряда (как и плотность светового потока точечного источника в непоглощающей среде).

Поток вектора Е через данную сферическую поверхность, конечно же, остается постоянным независимо от радиуса сферы. Этот поток пропорционален заряду (точно так же, как и световой поток пропорционален интенсивности источника). В более общей форме (поток через любую замкнутую поверхность) указанная закономерность выражается известной электростатической теоремой Гаусса:

С точки зрения теории поля теорему Гаусса можно рассматривать как независимое обобщение опытных данных, из которого вытекает, в частности, закон Кулона.

Принцип суперпозиции

Опыты показывают, что при наличии не одного, а нескольких зарядов q₁, q₂, q₃… создаваемая ими результирующая напряженность поля равна сумме напряженностей, которые создаются каждым зарядом в отдельности:

Где: i – точки истока (в них расположены заряды q_i); k – точка наблюдения (для которой и определяется поле).

Можно сделать вывод, что к полю электрических зарядов применим принцип суперпозиции (наложения).

В электротехнике часто приходится иметь дело с зарядами, распределенными с некоторой плотностью:

• В пространстве:

• На поверхности:

• Или вдоль некоторой линии:

Переходя от суммы к интегралу можно применять выражение (7) для зарядов, распределенных с линейной (τ), объемной (ρ) и поверхностной (σ) плотностями.

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому принцип суперпозиции применим, конечно же, и к электростатической теореме Гаусса:

Если распределение зарядов в пространстве задается объемной плотностью, то вместо формулы (9) можно написать:

При q_i и ΔV стремящихся к нулю.

Для линейных и поверхностных зарядов могут быть даны аналогичные формулировки.

Давайте теперь рассмотрим пару примеров.

Пример 1

Электрический заряд с линейной плотностью τ распределен вдоль прямолинейного отрезка с конечной длиной l. Необходимо найти напряженность поля в точке, отстоящей от оси отрезка на расстоянии r₀. Проведенные в рассматриваемую точку радиусы из концов отрезка образуют с осью углы α₁ и α₂ (рисунок выше).

Решение

По закону Кулона для каждого элемента отрезка длиной dl:

Где E_a и E_r – аксиальная и радиальная слагающие напряженности поля.

Из простых геометрических соображений находим:

Если точка наблюдения расположена симметрично относительно отрезка, то θ₁ = — θ₂. При этом аксиальная слагающая Е_а обращается в нуль.

Для бесконечно длинного равномерно заряженного отрезка (например, провод линии передачи r₀<<l) имеем:

Пример 2

Пользуясь теоремой Гаусса определить поле бесконечно длинной однородно-заряженной проволоки.

Решение

В силу симметрии в поле имеется только радиальная слагающая напряженности (E = E_r). Поэтому, применив теорему Гаусса (5) к круглой цилиндрической поверхности с радиусом r, коаксиальной с проволокой:

и ограниченной с торцов плоскостями, нормальными к оси, легко находим:

(во всех точках цилиндрической поверхности E_r = E = const), откуда: