Поле намагниченного вещества. Микроскопические связанные токи

Магнитное поле, которое создается намагниченной средой, можно рассмотреть как поле, создаваемое рядом элементарных моментов.

Также возможно и другое рассмотрение, но его обязательно нужно приводить к тому же результату. В другом рассмотрении магнитное поле, создаваемое поляризованной средой, рассматривается как поле, создаваемое связанными микроскопическими токами. Представив, как это предложил Ампер, магнитные моменты элементарными контурами тока, можно заметить, что в области однородной намагниченности токи смежных контуров взаимно компенсируются, как это показано для нескольких контуров на торце намагниченного стержня (рисунок ниже).

Несколько контуров намагниченного стержня

Только токи на границе тела оказываются некомпенсированными, при этом не составляет большого труда рассчитать плотность связанного поверхностного тока:

Плотность связанного поверхностного тока

Где n0 – внешняя нормаль к поверхности намагниченного тела.

Если две намагниченные среды с намагниченностями М1 и М2 граничат, то в формуле (1) нужно заменить М на выражение М1 – М2 при условии направления нормали  n0 из первой среды во вторую.

Если намагниченное вещество неоднородно могут возникать и объемные связанные токи. Если намагниченность тела меняется по закону:

Закон изменения намагниченности в неоднородном веществе

То есть, если намагниченность изменяется только в зависимости от координаты y и направлена по оси x, то связанный ток внутри вещества будет иметь плотность:

Плотность связанного тока внутри вещества

Направленную по оси z (рисунок ниже, где прямоугольными контурами показаны остающийся некомпенсированный ток и возрастающая намагниченность).

Связанная плотность тока направленная по оси z

Важно помнить, что неоднородность намагниченности необходимое, но не достаточное условие для существования связанного тока.

Векторный потенциал, обусловленный намагниченностью

Если рассматривать элемент объема намагниченной среды как элементарный магнитный момент MdV и использовав выражение для векторного потенциала момента найдем:

Векторный потенциал, обусловленный намагниченностью

Интеграл должен распространяться на всю область пространства, где М не равно нулю.

С другой стороны, основываясь на представлении о том, что намагниченности соответствуют связанные (Амперовы, молекулярные) токи Jсвяз, векторный потенциал поля намагниченной среды можно выразить по формуле, представляющий векторный потенциал через плотность тока:

Векторный потенциал выраженный через плотность тока

Приравняв АМ и Аiсвяз найдем формулу, которая выражает плотность связанных токов как функцию намагниченности.

Использовав формулу векторного анализа получим:

Плотность связанных токов как функция намагниченности

Подынтегральное выражение (4) может быть представлено в следующем виде:

Подынтегральное выражение записанное в другом виде

После чего формула (4) принимает вид:

Векторный потенциал, обусловленный намагниченностью выраженный через векторный анализ

К последнему слагаемому может быть применено следующее преобразование (в данном случае предполагается, что во всем рассматриваемом пространстве отсутствуют поверхности разрыва вектора намагниченности. Только в таком случае имеет смысл операции rot M и становятся возможными все проводимые здесь интегральные преобразования.

Для того, чтобы описанное предположение удовлетворялось, можно всегда считать, что граница различно намагниченных областей обладает некоторой, хотя бы и очень малой толщиной, внутри которой намагниченность плавно переходит от значения, соответствующего одной области, к значению другой области):

Применение преобразования к последнему слагаемому

Где подразумевается, что дифференцирование в операции rot производится по координатам переменного элемента объема dV. В таком случае:

Дифференцирование по координатам переменного элемента объема dV

В формуле (10) интегрирование производится по поверхности, которая охватывает весь объем, на который распространяется интеграл слева. В рассматриваемом случае интеграл слева должен быть распространен на весь объем, занятый намагниченным веществом. Однако, стоит отметить, что распространить его можно и на больший объем, то есть попасть в область, где М = 0, при этом не нарушая требуемых условий. В таком случае можно всю поверхность S (интеграл справа в формуле (9)) провести в области, где М = 0, тем самым обращая в нуль весь интеграл. При распространении интеграла на всю намагниченную область:

Распространение интеграла на всю намагниченную область

Сопоставив последнее равенство (5), из условия АМ = Аiсвяз, находим:

Плотность связанного тока внутри вещества при условии Ам равно Аiсвяз

Индекс u отсутствует в данном выражении, так как нет возможности другого толкования операций дифференцирования.

Но большей наглядностью, как по мне, обладает другой вывод того же соотношения (12), основывающийся на более конкретном представлении о носителях магнитного момента в намагниченной среде (спин электрона представлен кольцевым током, пронизывающим контур интегрирования), но, к сожалению, такая конкретизация не может считаться достаточно обоснованной.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *