Уравнение, связывающее поток вектора напряженности поля через замкнутую поверхность и заряд, помещенный внутри этой поверхности, представлено в интегральной форме:
Устремляя к нулю объем, ограниченный поверхностью интегрирования, вокруг какой-то точки и предполагая, что плотность электрического заряда это непрерывная функция координат, можно легко перейти к дифференциальной формулировке того же закона:
В данном уравнении ρ – плотность заряда в точке, вокруг которой стягивается замкнутая поверхность (стягивается так, что любой линейный размер ограничиваемого ею объема стремится к нулю).
Указанное требование предельного перехода (V→0) физически не осуществимо, так как оно равносильно требованию непрерывности ρ как функции координат.
И правда, когда объем V становится настолько мал, что внутри него оказывается небольшое число электронов или атомов, макроскопическое понятие средней плотности заряда теряет смысл. Стремление линейных размеров и объема к нулю понимается здесь, как и во всей макроскопической динамике, в том смысле, что рассматриваемые малые расстояния и объемы могут с точки зрения математического описания поля считаться ничтожными, вместе с тем они должны оставаться еще настолько большими, чтобы не теряли смысла понятия макроскопической физики, рассматривающей вещество как сплошную среду.
Отношение в левой стороне выражения (1) носит название расхождение или дивергенция вектора Е:
Из самого определения выступает физический смысл дивергенции какого-либо физического вектора. В самом деле поток, исходящий из объема, ограниченного данной поверхностью, указывает на существование источников этого потока внутри поверхности и количественно выражает их «мощность» (силу, интенсивность). Отношение полного исходящего потока к объему, который ограничивает поверхность, характеризует объемную плотность источников потока.
Давайте разберем небольшой пример, демонстрирующий наглядное представление о дивергенции.
Представим себе в комнате трубку с разреженным газом, светящимся при электрическом разряде (в нем возникает световой поток) или зажженную свечу. В комнате воздух прозрачен, а снаружи пропитан туманом и дымом (световой поток поглощается). Внутри газоразрядной трубки или пламени свечи дивергенция вектора плотности светового потока положительна, в комнатном воздухе дивергенция равна нулю, а за окном дивергенция отрицательна.
Выбрав ту или иную систему координат, можно записать дифференциальную операцию div E непосредственно из ее определения (2). В декартовой системе координат дивергенция будет иметь вид:
По самому определению дивергенция это скаляр, а сама дифференциальная операция применяется к вектору. Можно заметить, что формально результат, приведенный в формуле (3) можно представить как скалярное произведение векторов набла и Е:
Электростатическая теорема Гаусса в дифференциальной форме формулируется как:
Вывод следует из формул (1) и (2).
Пример 1
Напряженность поля изменяется по закону Ex = E0(α/x), Ey = 0, Ez = 0 при α<x<b. Нужно найти объемный заряд при Е0 = 10 кВ/см, α = 1 см, b = 1,2 см.
Решение
По теореме Гаусса:
Это поле плоского конденсатора с отрицательным объемным зарядом, поэтому напряженность поля убывает по мере удаления от положительной пластины (в направлении ЕХ).
Пример 2
Условия те же, что и в предыдущем примере, но напряженность поля изменяется по закону:
Решение
Непосредственно дифференцируя, находим:
Данное поле совпадает с полем заряженного цилиндра (rц<b), ось которого совпадает с осью z.
Полезно обратить внимание на то, что на плоскости y = 0 напряженность поля в этом примере тождественно совпадает с напряженностью поля в предыдущем. Действительно, в этом примере в указанных условиях r = x и Ex = E0(α/x), Ey = 0, Ez = 0. Но хотя Ey = 0, производная от этой составляющей не равна нулю (а в предыдущем примере она нуль).
