Двоичная система счисления

В повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления, которая состоит всего лишь из десяти цифр от 0 до 9, а все остальные числа являются комбинацией этих чисел. Данная комбинация получила название позиционной системы. Суть данной системы заключается в том, что число разбивают на части, кратные десяти, и записывают каждую часть на соответствующем месте, считая справа налево. Разберем на примере 365. Эта запись будет иметь следующий вид:  где его разбивают на части и в такой же последовательности записывают множители при степенях десяти.

Если мы при построении счетчиков используем триггеры, то нам необходимо учитывать и то, что триггеры могут находится только в двух состояниях – либо единица, либо ноль. Поэтому любое число для них может быть записано только в двоичной системе счисления. По аналогии с десятичной системой, каждое число разбивают на части, которые будут кратны уже не десяти, а двум. Такое выражение будет иметь вид:

Давайте рассмотрим на примере все того же 365 и определим все степени двойки, которые в этом числе могут быть:

2⁰=1; 2¹=2; 2²=4; 2³=8; 2⁴=16; 2⁵=32; 2⁶=64; 2⁷= 128; 2⁸=256; 2⁹=512;

Поскольку 2⁹=512 – а это больше чем 365, то мы берем ближайшее меньшее к 365 – а это 2⁸=256. Последовательно отнимая от заданного числа степени двойки получим:

365 — 256(2⁸)=109; 109 — 64(2⁶)=45; 45 – 32(2⁵)=13; 13 – 8(2³) =5; 5 – 4(2²) =1; 1 – 1(2⁰)=0;

А это значит что:

365=256+64+32+8+4+1 = 

То есть запись в позиционной системе будет иметь вид:

101101101

Проще переход к двоичной системе можно произвести еще таким способом:

Заданное число делят на два. Если оно получается непарным, то от него отнимают единицу, которую записывают справа от числа за вертикальной чертой как показано выше. После того, как оно стало парным (365-1=364), его делят на два и результат записывают ниже заданного (364:2=182). Поскольку 182 парное, то справа записываем ноль и снова делим на два. Подобные действия проделывают до конца, а потом выписывают единицы и нули в направлении снизу вверх и получают 101101101.

Для перехода к десятичной системе счисления над каждой цифрой числа, записанного в двоичной системе, сверху надписывают справа налево степень двойки:

1    0    1     1    0    1     1    0   1

Подсчитывают степени соответствующие единице и суммируют результат:

2⁸+2⁶+2⁵+2³+2²+2⁰ = 256+ 64+32+8+4+1 =365

Каждый разряд двоичного числа называет «бит». В нашем случае использовано девять бит. Биты группируются в старшие разряды. Так, восемь битов составляют «байт». Число, состоящее из байтов и битов называют «словом». Для записи больших чисел удобно использовать так называемую двоично – десятичную систему. Для осуществления этого каждую цифру в десятичной системе записывают  в двоичном коде отдельно: 3 – 0011; 6 – 0110; 5 – 0101. Итак, 365 в двоично – десятичной системе будет иметь вид:

365 – 0011  0110  0101

При этом понадобится не девять бит, а двенадцать, но в таком виде гораздо удобней осуществлять перевод из одной системы в другую.