В теории автоматического регулирования различают реальное дифференцирующее звено и идеальное дифференцирующее звено.
Идеальное дифференцирующее звено
Давайте для начала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено, типовое дифференциальное уравнение которого имеет вид:
Операторная форма записи имеет следующий вид:
Передаточная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:
Аналитическое выражение вектора амплитудо-фазовой характеристики (АФХ) для идеального дифференцирующего звена имеет вид:
В последнем выражении при изменении частоты от 0 до ∞ легко построить график вектора АФХ идеального дифференцирующего звена (рисунок 1 а)). Конец вектора АФХ перемещается по положительной мнимой полуоси комплексной плоскости от начала координат, уходя при ω = ∞ в бесконечность.
Идеальное дифференцирующее звено имеет своеобразную переходную функцию (рисунок 1 б)). Выходной сигнал данного звена пропорционален тангенсу угла наклона вектора АФХ, то есть первой производной. Угол равен +900 в момент подачи входного воздействия, а tg(+900) = +∞, но далее входное воздействие становится равным единице, при этом угол наклона изменяется на -900, а tg(-900) = -∞.
Откуда следует, что в момент подачи входного сигнала выходной сигнал идеального дифференцирующего звена примет значение +∞. Тут же из +∞ вычитается -∞ и выходной сигнал снова принимает нулевое значение (рисунок 1б)).
Примером электрической реализации идеального дифференцирующего звена может послужить электрическая цепь, состоящая из резистора R и конденсатора С, при этом резистор R обладает сверхпроводимостью (R = 0). Схема данной RC цепочки показана на рисунке 1 в).
Реальное дифференцирующее звено
Типовое дифференциальное уравнение для реального дифференцирующего звена имеет вид:
Операторная форма данного уравнения:
хвых (р) можно вынести за скобки:
После чего получить аналитическое выражение передаточной функции реального дифференцирующего звена:
Совершив замену p на jω в передаточной функции, получим аналитическое выражение вектора АФХ для данного звена:
Изменяя частоту после ω проведенных алгебраических преобразований от 0 до ∞ в мнимой in(ω) и действительной m(ω) частях вектора амплитудо- фазовой характеристики (АФХ), построим годограф реального дифференцирующего звена (рисунок 2 а).
В знаменателе m(ω) при ω = ∞ единицу можно отбросить, тогда можно сократить дробь:
Отсюда получим, что m(ω) = k / T0.
Следовательно, графиком вектора АФХ реального дифференцирующего звена будет полуокружность в первом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой будет равен k / T0.
На рисунке 2 б) показана переходная функция реального дифференцирующего звена. На рисунке видно, что при подаче возмущения в виде единичного скачка выходной сигнал мгновенно увеличится на величину k / T0, после чего начнет плавно уменьшаться (по нелинейному закону) пока его значение не станет равным нулю. По переходной характеристике не сложно определить коэффициенты k и T0 передаточной функции. Сначала с помощью касательной находят значение T0, после чего умножив ординату величины k / T0 на T0, определяют значение k.
В качестве примера электрической реализации реального дифференцирующего звена может послужить RC цепочка, в которой сопротивление R ≠ 0, что вполне может быть собрано из существующих элементов.
