Что происходит при коротком замыкании в RL цепи?

Ветвь с индуктивностью и активным сопротивлением (в дальнейшем для простоты обозначения будет называть r, L цепь), иными словами – реальная катушка индуктивности с постоянным током внезапно замыкается накоротко рубильником (рисунок 1).

Короткое замыкание в RL цепи схема — Рисунок 1

Давайте найдем закон для изменения тока в катушке. До начала процесса коммутации ток в катушке индуктивности был равен:

Ток в катушке индуктивности до начала процесса коммутации

После коммутации принужденный ток в катушке равен нулю, то есть i = i_св.

На основании уравнения 4 свободный ток можно описать с помощью однородного дифференциального уравнения первого порядка:

Свободный ток при коротком замыкании в rL цепи

Общее решение которого:

Свободный ток при коротком замыкании в rL цепи общее решение уравнения

При t = 0 из формулы (2) имеем i_св(0) = А = i(0), то есть:

Свободный ток при коротком замыкании в rL цепи при t равном 0

Где: i_св(0) = А – начальное значение свободного тока, кривая изменений которого показана на рисунке 2.

Кривая изменения свободного тока при коротком замыкании в rL цепи — Рисунок 2

Величина τ = L / r имеет размерность времени и носит название постоянной времени цепи r, L. Она может быть определена как время, за которое свободный ток в процессе затухания, уменьшится в e раз по сравнению со своим начальным значением i_св(0). В самом деле:

Процесс затухания свободного тока при коротком замыкании в rL цепи

Существует также графический способ определения постоянной времени r, L цепи (τ). Для этого необходимо провести касательную к кривой i_св в любой ее точке С. Из треугольника CBD можно найти значение подкасательной BD:

Графический способ определения постоянной времени при коротком замыкании в rL цепи

То есть постоянная времени τ численно равна длине любой подкасательной. Также она будет равна численно длине подкасательной OB₀, которая определяется касательной C₀B₀, проведенной к начальной точке C₀.

Обратная постоянной времени величина равна:

Коэффициент затухания при коротком замыкании в rL цепи

Данную величину называют коэффициент затухания цепи r, L. С ростом постоянной времени τ или уменьшении коэффициента затухания β свободный ток затухает медленнее и, соответственно новый принужденный режим устанавливается дольше. Говоря простыми словами – чем больше индуктивность L и чем меньше сопротивление r, тем дольше будет идти переходной процесс.

Значение i_св(0), то есть постоянной интегрирования А, легко определяется из начальных условий. Для ветви с индуктивностью (любой) переходный ток в момент коммутации (t = 0) не может измениться скачком.

Поэтому:

Закон изменения тока в катушке индуктивности

Для тока i в катушке получим:

Ток в катушке индуктивности после процесса коммутации

Электродвижущая сила самоиндукции будет иметь вид:

Электродвижущая сила самоиндукции при коротком замыкании в rL цепи

Электродвижущая сила самоиндукции при t = 0 будет равна напряжению на сопротивлении r и в момент коммутации удерживает значение тока на начальном уровне.

Если посмотреть на процесс короткого замыкания в цепи r, L с энергетической точки зрения, то он характеризуется тем, что вся запасенная до коммутация энергия магнитного поля в катушке:

Энергия магнитного поля катушки индуктивности запасенная в ней до начала процесса коммутации формула

превратится в тепло в ходе переходного процесса:

Энергия магнитного поля катушки индуктивности запасенная в ней до начала процесса коммутации превращается в тепло формула

Важно отметить, что процесс исчезновения тока в катушке индуктивности замкнутой накоротко теоретически длится бесконечно долго, что и обуславливает верхний предел интеграла в виде бесконечности. Однако на практике затухание переходного процесса произойдет довольно быстро. Постоянная времени цепи rL лежит в пределах от нескольких микросекунд до долей секунды. Большое значение постоянной времени, как правило, имеют катушки индуктивности со стальным сердечником, которые имеют весьма значительное количество витков.

Если же в катушке протекал переменный ток до наступления короткого замыкания, то характер переходного процесса не изменится и i(0) будет равен значению тока в катушке в момент короткого замыкания.

Для примера давайте рассмотрим явления, которые возникают при измерении сопротивления обмотки трансформатора (рисунок 3).

Схема для измерения сопротивления обмотки трансформатора — Рисунок 3

Обмотка трансформатора с большой индуктивностью и относительно небольшим активным сопротивлением питается от источника постоянного напряжения через дополнительное сопротивление. На обмотке напряжение измеряется с помощью милливольтметра. Если после окончания измерений с помощью амперметра и милливольтметра обмотку отключить от источника постоянного напряжения, то ток обмотки замкнется через милливольтметр. Поскольку ток в обмотке трансформатора может быть довольно большим и в момент отключения рубильника его значение сохранится, то, замкнувшаяся через милливольтметр цепь может сжечь его.

В качестве второго примера рассмотрим обмотку возбуждения мощной электрической машины. В случае, когда необходимо снять возбуждение с электродвигателя, обмотку возбуждения не отключают от источника постоянного напряжения, а замыкают на специальное разрядное сопротивление, на котором энергия магнитного поля превращается в тепло (рисунок 4).

Разрядное сопротивление при отключении обмотки возбуждения от источника напряжения — Рисунок 4

Если мы просто возьмем и разорвем цепь возбуждения то, даже с учетом электрической дуги при выключении, ток будет очень быстро уменьшатся до нуля (di / dt будет очень велико). Поскольку обмотка возбуждения мощной электрической машины имеет большую индуктивность L_в, то в ней возникнет весьма существенная ЭДС самоиндукции: