Теорема Остроградского – Гаусса

Строгий вывод теоремы Остроградского – Гаусса довольно сложен, мы сделаем ее вывод для частного случая, который достаточно убедительно поддается обобщению. Теорема Остроградского – Гаусса позволяет определить поток вектора напряженности от любого количества зарядов. Для начала определим поток вектора напряженности через шаровую поверхность, в центре которой будет располагаться точечный заряд.

По формуле, которая была рассмотрена в более ранней статье (формула 1), при En = Ecos α, для шаровой поверхности (cos α = 1) поток вектора напряженности будет иметь вид:

Поток вектора напряженности для шаровой поверхности

Использовав формулу напряженности (формула 4) найдем:

Поток вектора напряженности для шаровой поверхности выраженный через напряженность

Отсюда следует, что из каждого точечного заряда выходит поток вектора напряженности, который равен значению q/εε0. Из обобщения данного положения выводится теорема Остроградского – Гаусса для общего случая – полный поток вектора напряженности через замкнутую произвольной формы поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость εа = εε0, то есть:

Теорема Остроградского Гаусса для общего случая

Где: n – количество зарядов, qi – заряд, заточенный внутри поверхности.

В системе Гаусса данное уравнения будет иметь вид:

Теорема Остроградского Гаусса для общего случая в системе Гаусса

Для потока вектора электрического смещения ND (вектора индукции) можно получить аналогичную формулу:

Поток вектора электрического смещения

То есть, поток индукции через замкнутую произвольную поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, которые охватываются этой поверхностью.

Если взять какую-то замкнутую поверхность, которая не охватывает заряд q, то каждая линия напряженности (или индукции) будет пересекать ее дважды – один раз она войдет в поверхность, а другой раз выйдет из нее. Из – за этого явления алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность, количество которых определяет полный поток индукции ND через эту поверхность будет равна нулю (ND = 0).

Прежде чем рассмотреть несколько частных случаев применения теоремы Остроградского – Гаусса для определения напряженностей различных электростатических полей, введем понятие о плотности зарядов.

Линейная плотность заряда – это физическая величина, которая характеризует распределение заряда вдоль линии (нити) или тонкого цилиндрического тела и численно равная отношению заряда к длине элемента нити:

Линейная плотность заряда

А при равномерном распределении заряда по всей длине линейная плотность:

Линейная плотность заряда при его равномерном распределении по всей длине

В СИ единицей измерения линейной плотности заряда τ будет 1 Кл/м.

Если заряд dq распределен по какому-то объему dV, то очевидно, что объемная плотность заряда будет численно равна соотношению заряда к элементу объема:

Объемная плотность заряда

А при равномерном распределении заряда:

Объемная плотность заряда при равномерном распределении

В системе СИ измеряется в 1 Кл/м3.

В случаях, когда заряд dq распределяется по поверхности dS и глубина его проникновения пренебрежительно мала, то поверхностная плотность заряда будет определена соотношением:

Поверхностная плотность заряда

А в случае если заряд q по площади S распределен равномерно, то:

Поверхностная плотность заряда при равномерном распределении заряда

В системе СИ поверхностная плотность измеряется в Кл/м2.

Давайте вычислим напряженность электростатического поля, которое создано равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность имеет радиус R и равномерно распределенный заряд q, то есть поверхностная плотность σ в любой точке сферы будет одинакова.

Выберем точку А, которая находится от центра сферы на расстоянии r (рисунок ниже):

Сферическая поверхность с равномерно распределенным зарядом

Через точку А мысленно проведем новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере.

В данном случае через поверхность S поток вектора напряженности будет равен:

Поток вектора напряженности через поверхность S

По теореме Гаусса NE = q/εε0. Отсюда следует, что при r>R:

При r больше R

Если сравнить данное соотношение с формулой напряженности поля точечного заряда, можно сделать вывод, что вне заряженной сферы напряженность поля такова, как если бы весь имеющийся заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

Для точек, которые находятся на поверхности заряженной сферы с имеющимся радиусом R, по аналогии с уравнением (7) можно записать:

При r больше R аналогично формуле

Если провести через точку В, которая находится внутри сферической заряженной поверхности, сферу S/ с радиусом r/<R. Зарядов не будет внутри сферы S/, так как все они будут располагаться на внешней сферической поверхности. Отсюда вытекает (по теореме Гаусса) NE = 0, и внутри равномерно заряженной сферы напряженность электростатического поля будет равна нулю (E = 0).

Теперь давайте попытаемся определить напряженность поля, созданного равномерно заряженной нитью (цилиндром) бесконечной длины.

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность с определенным радиусом R заряжена с постоянной поверхностной плотностью σ. Проведем коаксильную поверхность цилиндрического типа с радиусом r>R.

Через эту поверхность поток вектора напряженности будет равен:

Поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность

По теореме Гаусса:

Поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность по теореме Гаусса

Приравняв правые части этих уравнений получим:

Приравняв правые части уравнения для цилиндрической поверхности

Из формулы (4а) находим, что линейная плотность заряда цилиндра равна:

Линейная плотность заряда цилиндра равна

Использовав это равенство, найдем:

Использовав равенство для линейной плотности заряда цилиндра

Теперь давайте определим напряженность поля, которое создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Если предположить, что данная плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу плоскости равен σ. Из законов симметрии следует вывод, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то одинаковыми по своей величине должны быть поля по обе стороны плоскости.

Если ограничить часть заряженной плоскости 1 воображаемым прямоугольным ящиком 2 (Гауссова поверхность) таким образом, чтобы ящик был рассечен пополам (рисунок ниже).

Напряженность поля, которое создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью

Обе грани ящика, которые имеют определенную площадь S, должны быть расположены параллельно заряженной плоскости. Вектору Е равен суммарный поток вектора напряженности, умноженному на площадь первой грани S, плюс поток вектора Е через противоположную грань. Через остальные грани поток напряженности будет равен нулю, так как их не пересекают линии напряженности.

Повторив предыдущие рассуждения и применив теорему Остроградского – Гаусса, получим следующее выражение:

Применив теорему Остроградского-Гаусса

Но Е = Е1 = Е2. В таком случае напряженность поля бесконечной равномерной плоскости будет равна:

Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости

Координаты точки, в которой определяется напряженность поля, не входят в формулу (12). Отсюда следует вывод, что в бесконечной равномерно заряженной плоскости электростатическое поле будет однородным, а его напряженность в любой точке поля одинакова.

И, наконец, давайте определим напряженность поля, которое создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, с одинаковыми плотностями и разноизменно заряженными.

Напряженность поля между бесконечными параллельными плоскостями

Из рисунка выше видно, что между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов –σ и +σ, напряженность поля равна сумме напряженностей полей, которые создаются обеими пластинами, то есть:

Сумма напряженностей полей, создаваемых обеими пластинами

Векторы Е вне пластин направлены противоположно друг другу и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность электрического поля в пространстве, которое окружает пластины, будет равно нулю (Е = 0).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *