Работа сил электростатического поля при перемещении заряда

При перемещении точечного электрического заряда qпр электростатического поля из одной точки в другую на расстояние dS элементарная работа, совершаемая силой F, будет равна:

Элементарная работа при перемещении точечного заряда совершаемая силой F

Где α это угол между направлением движения и силой F.

В случае, когда работа совершается силами поля, то dA>0, а если внешними силами, то dA<0. Проинтегрировав последнее выражение, получим выражение работы против сил поля при перемещении точечного заряда qпр из точки a в точку b:

Выражение работы против сил поля при перемещении точечного заряда qпр из точки a в точку b

Где F = Eqпркулоновская сила, которая действует на «пробный» заряд qпр в каждой точке поля с напряженностью Е. В токам случае работа будет равна:

Выражение работы против сил поля при перемещении точечного заряда qпр из точки a в точку b выраженное через кулоновскую силу

Предположим, что от пути перемещения или интегрирования точечного заряда будет зависеть результат интегрирования. Но если бы интеграл (формула 2) зависел только от пути, то можно было бы перемещать точечный заряд с точки а в точку b по пути где А меньше, а возвращать по пути где А больше, и в итоге «получить» энергию больше, чем было затрачено в первом случае. Однако «извлекать» энергию из поля можно только при условии перемещения зарядов, создающих само поле, то есть электрическое поле тоже будет изменяться. Но, создающие электрическое поле заряды в электростатике неподвижны, что делает невозможным извлечение из поля энергии при условии, что в электростатике закон сохранения энергии справедлив.

Теперь давайте докажем, что совершаемая при перемещении заряда работа в электростатическом поле зависит только от конечного и начального положений электрического заряда.

Пусть «пробный» заряд qпр перемещается в поле заряда q из точки а, которая удалена на расстояние r1 от q, в точку b, удаленную на расстояние r2 от q, по пути аа/b (рисунок ниже а)):

Перемещение пробного электрического заряда из точки а в точку b

Так как поле точечного заряда радиально, то на участке аа/ работа не производится, поскольку перемещение осуществляется перпендикулярно вектору Е. Отсюда следует, что работа по переносу «пробного» заряда от точки а к точке b будет равна:

Работа по переносу «пробного» заряда от точки а к точке b

Теперь выберем более сложный путь движения точечного заряда (рисунок выше б)).  Траекторией его движения будет то радиус, то дуга окружности. Каждый раз, когда путь будет пролегать по радиусу, интегрируется dr/r2. Интеграл берется в пределах от ra до ra/  по первому радиальному участку, по следующему от ra/ до ra// и так далее. Общий интеграл в пределах от r1 до r2 будет равна сумме интегралов, то есть ответ получится тот же, что и в первом случае. Отсюда следует, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого же вида, получится аналогичный результат. Расчет перемещения заряда в электростатическом поле для любых траекторий более сложен, но приводит к аналогичному результату, а именно:

Работа сил по перемещению электрического заряда

Где интеграл берется от начальной точки a до конечной точки b по любому пути.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *