Эквипотенциальные поверхности. Потенциал электростатического поля

Работа по перемещению заряда из точки А в точку В зависит только от положения точек А и В и не зависит от формы пути, по которому движется пробный заряд. Исходя из этого работа, по перемещению заряда, будет равна убыли потенциальной энергии W данного заряда:

Работа по перемещению заряда с одной точки электростатического поля в другую

Если работа зависит только от положения начала и  конца пути в электростатическом поле, то она может быть выражена как разница двух чисел.

Возьмем производную точку М и обозначим работу по перемещению пробного заряда qпр от М к А через φ(А), а от М к В через φ(В). После чего будет осуществлено перемещение данного заряда от А к В по пути А- М – В.

Так как работу перехода М – А мы обозначили как φ(А), то обратный переход А – М также будет φ(А), из чего следует формула:

Работа по перемещению заряда с одной точки электростатического поля в другую через промежуточную точку

Положение точки М по сути безразлично, так как в данном случае играет роль только разность значений функций φ. Однако, задав координаты точки М мы однозначно определим величины функций φ(А) и φ(В), хотя на величину разности φ(А) — φ(В) положение точки М никак не влияет. Как только координаты точки М выбраны, число φ определяется в любой точке пространства.

Отсюда следует важный вывод – величина φ является функцией координат x, y, z и скаляром электростатического поля. Данная скалярная функция φ называется потенциалом электростатического поля. Точка отсчета М для удобства расчетов помещается в бесконечность. Потенциал бесконечно удаленной точки принимают равным нулю φ = 0.

Физическая величина, которая равна отношению потенциальной энергии, приобретаемой положительным зарядом qпр, при его переносе из бесконечности в данную точку пространства к этому заряду, то есть:

Потенциал электрического поля

Потенциал – это энергетическая характеристика поля. Численно он равен работе, которую нужно совершить при перенесении единичного заряда из бесконечности, где потенциальная энергия считается равной нулю, в данную точку поля.

Из формул (2) и (формулы 3 приведенной по следующей ссылке) получим выражения потенциала поля, которое создано точечным зарядом:

Потенциал электрического поля созданный точечным зарядом

Когда поле образуется несколькими расположенными произвольно зарядами q1, q2,… qn, его потенциал φ в данной точке будет равен алгебраической сумме потенциалов φ1, φ2, … φn, которые создает каждый заряд в отдельности:

Сумма потенциалов поле, образованного несколькими зарядами

Если заряды q1, q2,… qn можно считать точечными, то суммарный потенциал можно посчитать по формуле:

Сумма потенциалов поле, образованного несколькими точечными зарядами

Где r1, r2, … rn расстояние от зарядов q1, q2, … qn до данной точки поля.

В случае если поле образовано электрическим диполем, то потенциал в какой-либо точке поля, находящейся от центра диполя на расстоянии r можно определить по формуле:

В случае если поле образовано диполем

Где р = q·l – электрический момент диполя (где l – это плечо диполя), а α – угол между плечом диполя l и радиус вектором r.

В случае, когда точка лежит на оси диполя α = 0, потенциал в этой точке будет равен:

В случае, когда точка лежит на оси диполя

Лежащие на перпендикуляре к плечу диполя точки, восстановлены с его середины, имеют нулевой потенциал (φ = 0), так как α = 900.

Если из точки А в точку В электростатического поля перемещается заряд q/, то при этом совершается работа против электрических сил:

Совершается работа против электрических сил

Где φ1 и φ2 потенциалы в точках А и В или

Потенциалы в точках А и В или

Отсюда следует, что совершаемая полем работа по перемещению заряда измеряется произведением заряда q/, переносимого в электростатическом поле, на разность потенциалов конечной (φ2) и начальной (φ1) точек пути и никак не зависит от формы пути.

Совокупность точек с одинаковым потенциалом образуют эквипотенциальную поверхность или поверхность равного потенциала (φ = const). С помощью данных точек эквипотенциальную поверхность можно изобразить графически.

На рисунке ниже изображено электрическое поле равномерно заряженного диска, где пунктирные линии – эквипотенциальные поверхности, а сплошные – линии напряженности.

Электрическое поле равномерно заряженного диска

Данный рисунок иллюстрирует общее свойство эквипотенциальных поверхностей и силовых линий – эквипотенциальная поверхность и силовая линия, проведенная через любую точку, в данной точке взаимно перпендикулярны. Поскольку все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал (φ1 – φ2 = 0), то работа не совершается при перемещении заряда вдоль нее. Из этого следует, что действующий на заряд вектор силы, а значит и вектор напряженности все время перпендикулярен к перемещению.

Если заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности (φ = const), то работа поля будет равна нулю:

Работа поля при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности

В общем случае совершаемая полем работа по перемещению заряда q/ будет равна:

В общем случае совершаемая полем работа по перемещению заряда q

Где dS – элементарное перемещение, а Е – проекция вектора напряженности Е на направление перемещения.

В результате интегрирования выражения (11) для однородного поля получим:

В результате интегрирования выражения для однородного поля получим

Где S – путь, а α – угол между направлением вектора Е и перемещения.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *